Hilbert空间视角下的时间序列模型

Hilbert空间说起来和我国古代数学有着一定的渊源。《九章算术》里记载：“勾股术曰：勾股各自乘，并，而开方除之，即弦”。这条著名的勾股定理实质上蕴含了Hilbert空间中对于距离和正交的核心性质。

Hilbert空间特点是通过定义内积$ < \cdot , \cdot > $来导出范数，进而导出距离函数。由内积可以定义正交关系，即若$ <x,y>=0 $则定义$ x , y $在空间中正交。一列彼此正交的元素$ e_j $称为一组正交基，内积的概念给出了任意元素$ x $相对于这组正交基的坐标，即元素$ x $在各个正交基上的投影$ < x , e_j > $.

最常见的Hilbert空间是Euclidean空间$ R^n $，即是线性代数研究的范畴。平面几何研究的是$ R^2 $，“勾股定理”反映的性质就是属于这个空间内的。“勾股定理”用Hilbert空间中的概念表达即为：

给定$ R^2 $中的一组标准正交基${e_1 , e_2} $,则任意点$ x $关于0元素的距离$ \parallel x \parallel $满足：$ \parallel x \parallel^2=\mid<x , e_1>\mid^2 + \mid <x , e_2>\mid^2 $.

这条定理的一般形式正是Hilbert空间中著名的Parseval公式，前提是正交系$ \{e_j\} $是完备的。在此前提下，Parseval公式成立：

$$ \parallel x \parallel^2 =\sum_j \mid < x , e_j >\mid^2 $$

Parseval公式揭示了Hilbert空间的优良特点，即任一点的位置可以相对于一组完备正交基完全定义，而且这种定义完全保留了点与点之间的距离关系。这就给计算带来极大的便利。

时序模型研究的是一类特殊的Hilbert空间：$ \mathscr{L}^2\{\Omega,\mathscr{F},P\} $，即一个定义在概率空间$ \{\Omega,\mathscr{F},P\} $上的平方可积函数集合，其中的内积定义为：

$$ <X,Y>=E(XY)=\int_\Omega xydP(x,y) $$

在提出这个定义以前，时序中经常提到的“均方收敛”的概念难以理解：一个随机变量“均方收敛”的结果是另一随机变量，也就是说这个序列收敛的结果取值仍然是不确定的；这和数学分析中研究的收敛范畴大相径庭。实际上，“收敛”的确切含义是指点与点之间距离趋向于0，但是对于这种“距离”的定义在不同的空间中可以是不同的。数学分析中的距离由绝对值定义，而这里的“距离”则由内积定义。均方收敛实际上与上述距离的定义完全一致，即：

$$ \parallel X_m-X_n \parallel =(E(X_m-X_n)^2)^{\frac{1}{2}} $$

再来看$ \mathscr{L}^2\{\Omega,\mathscr{F},P\} $的正交基的形式。其实最简单的正交基就是白噪声序列$ \{a_t\} \sim i.i.d(0,\sigma^2) $，因为

$$ <a_i,a_j> = E a_ia_j=\delta_{ij}\sigma^2 $$

为了应用之前的Parseval公式，严格的说需要证明$ \{a_t\} $是完备的。但如果我们只研究这组基生成的线性子空间$ \mathscr{H}:=\overline{sp}{a_j} $，那么显然在$ \mathscr{H} $上这组正交基是完备的。这个空间对线性时序模型已经完全足够了。

对于平稳的ARMA序列，$ X_t $的信息是由t时刻以前的白噪声序列决定的，写成数学形式即

$$ X_t \in\mathscr{H}_t:=\overline{sp}{a_j,j \leq t} $$

这反映了序列的鞅性质。更一般地，$ X_t $在Hilbert子空间$ \overline{sp}{a_j,j \leq t} $有固定的表达，这就是模型的$ MA(\infty) $表示。但是在实际情况中对$ \{X_j,j < t\} $的观测更为直接，因此我们也关心$ X_t $ 在$ \overline{sp}{X_j,j < t} $上的投影表达，即模型的$ AR(\infty) $表达形式。注意到$ \overline{sp}{X_j,j<t}=\overline{sp}{a_j,j<t} $，因此这两种表达形式本质是一致的，只是前者子空间的生成元不是正交基。

线性时序模型ARMA的预测问题可以归结为求解$ X_t $在空间$ \mathscr{H}_{t-1} $的投影，即在Hilbert子空间$ \mathscr{H}_{t-1} $中的最佳逼近元。最佳逼近元的泛函概念是在$ \mathscr{H}_{t-1} $中寻找使得距离$ \parallel X-\hat{X} \parallel $最小的估计值$ \hat{X} $，从范数的定义很容易看出，这个概念和统计上“均方误差最小”的概念是一致的。注意到在线性回归模型中，我们求解的目标也是$ \parallel y-\hat{y} \parallel $最小，但是线性回归模型中范数$ \parallel \cdot \parallel $是定义在Euclidean空间$ R^n $上的。最小二乘模型中的$ R^n $也是一种Hilbert空间，而$ R^n $和$ \mathscr{L}^2\{\Omega,\mathscr{F},P\} $的区别也说明了ARMA回归和线性回归的差别。线性回归模型的最小二乘法完全源于$ R^n $的性质，但是对于ARMA 模型来说，$ \parallel X-\hat{X} \parallel $的计算是几乎不可能的，因此首先都是通过构造一组由$ \{a_j,1 \leq j \leq t-1\} $作为正交基生成的Euclidean空间$ R^{t-1} $去对$ \mathscr{H}_{t-1} $作近似，用$ R^{t-1} $中的范数近似$ \mathscr{H}_{t-1} $的范数。

这种做法背后的假设是，随机白噪声序列的观测值$ \{a_j,1 \leq j \leq t-1\} $在距离上典型的“代表意义”，即以观测值为基生成的欧式空间$ R^{t-1} $可以反映$ \mathscr{H}_{t-1} $空间中的距离信息，这个思想和极大似然估计是相似的，即把观测值都是具有典型性代表性的。有了这个空间的变换，就把原先非欧空间中的优化问题转化为欧式空间中的问题，解决起来也就容易多了。从算法上看，回归模型和ARMA模型都是在欧式空间中进行，方法十分类似；但是二者本质上是存在差别的，回归模型本身就是欧式空间中的问题，而把ARMA模型放到欧式空间中进行求解只是一种简化。当对统计量极限分布进行研究时，ARMA模型必须重新考虑在原有空间$ \mathscr{L}^2\{\Omega,\mathscr{F},P\} $中距离的定义，这个过程就远比线性回归模型要复杂了。

时间序列的谱分析实质上是在另一种Hilbert空间$ \mathscr{L}^2(F) $的视角下进行研究。Fourier变换定义了一个映射$ T : \mathscr{L}^2\{\Omega,\mathscr{F},P\}\rightarrow \mathscr{L}^2(F) $,该映射满足

$$ TX_t=e^{it} $$

这两个空间是通过一个$ \mathscr{L}^2\{\Omega,\mathscr{F},P\} $上的正交增量过程$ Z(v) $发生联系的，其中

$$ X_t=\int_{(-\pi,\pi]}e^{itv}dZ(v) $$

定义$ F(v):=var(Z(v)-Z(-\pi)) $，则在空间$ \mathscr{L}^2(F) $上，利用Ito积分的有关性质得到：

$$ <e^{i(t+h)},e^{it}>=\int e^{i(t+h)v-itv}dF(v)=\int e^{ihv}dF(v)=\gamma(h) $$ 因此在空间$ \mathscr{L}^2(F) $上可以直观地对自相关函数进行描述。函数$ F(v) $的导数$ f(v) $就是谱函数。对有限序列$ \{X_t,1 \leq t \leq n \} $作Fourier变换得到的序列$ f_n(\omega_j) $，就是$ f(v) $在各个频率上的估计。可以证明对固定的时序模型，该映射$ T $对应的正交增量过程$ Z(v) $以概率1恒定；所以相应的谱函数$ f(v) $是唯一的。

以上提到的两种Hilbert空间为时序模型提供了时域和频域两种不同的视角，也在泛函领域奠定了两种分析方法的的理论基础。在对时序模型统计量的收敛性进行分析时，以上两种视角是必不可少的。

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